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坐标怎么算_关于y=x对称的点的坐标怎么算

1、二重积分坐标怎么算的建模思想与模型构建步骤

坐标怎么算_关于y=x对称的点的坐标怎么算  第1张

(1) 建模思想:微元法(元素法)

“大化小, 常代变, 近似和,取极限”

(2) 模型转换

公式中△σk表示小区域面积坐标怎么算,括号中△σk表示区域。

2、二重积分的几何意义与物理意义

几何意义:(1) 当f(x,y)=1,则表示积分区域D的面积坐标怎么算

(2) 当f(x,y)≥0,则表示以积分区域D,以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,顶为z=f(x,y)的曲顶柱体的体积.

物理意义:当f(x,y)>0,则表示面密度为ρ=f(x,y)的,占有平面区域D的平面薄片的质量.

3、二重、三重积分的计算性质

坐标怎么算了线性运算性质、对积分区域的可加性、保序性、绝对值不等式、估值定理、积分中值定理外,有如下两个重要的计算性质。

性质(偶倍奇零)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续:

●如果D关于x轴对称,记其x轴上方区域为D1,则有

●如果D关于y轴对称,记其y轴右侧区域为D1,则有

●如果积分区域D关于原点对称,则二重积分

其中D1为D的上半部分.

【注】以上性质就是“偶倍奇零”的计算性质,注意使用时,积分区域的对称性与被积函数的奇偶性之间要匹配。即积分区域关于x轴对称,被积函数关于y变量有奇偶性;积分区域关于y轴对称,被积函数关于x变量有奇偶性,则积分偶倍奇零。

性质(轮换对称性)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,积分区域关于直线y=x轴对称,直线y=x轴下方部分记作D1,直线y=x轴上方部分记作D2,则有

4、直角坐标系下的二重积分计算步骤与典型例题

第一步:画图(画确定积分区域的各边界曲线,根据题意确定区域).

第二步:简化计算(判断积分区域整体,或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体,或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性,借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算)

第三步:确定积分区域类型(根据积分区域图形与被积函数特征,确定最终需要计算的积分区域的类型:简单X-型或简单Y-型,如果不是则分割积分区域)

第四步:投影求型限(将积分区域投影到型变量对应的坐标轴上,确定型变量的范围:常值区间)

第五步:画线定余限(在型变量的取值范围内,做平行于余变量对应的坐标轴,并且同向的有向直线穿过积分区域,入点为下限,出点为上限:上下限一般为型变量的函数或者直接为常值)

第六步:余变先积分,最后积型变。

如果不考虑积分计算性质简化计算,则可以概括为以下25字计算过程:

画域图定型、投影求型限、画线定余限、余变先积分、最后积型变

5、极坐标系下的二重积分计算步骤

第一步:直角坐标系下画图(画确定积分区域的各边界曲线,根据题意确定区域).

第二步:简化计算(判断积分区域整体,或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体,或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性,借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算)

第三步:确定坐标系(确定使用极坐标计算二重积分,根据被积函数特征,如包含x^2+y^2、y/x或x/y描述或包含相应项;积分区域的特征:由射线、圆弧等围成;或者积分在直角坐标系下不能进行有效计算)

第四步:转换描述(借助直角坐标与极坐标的关系:x=ρcosθ,y=ρsinθ转换被积函数表达式与积分区域边界曲线描述形式用极坐标描述)

第五步:确定积分区域类型(根据积分区域图形与被积函数特征,确定最终需要计算的积分区域的类型:简单θ-型或简单ρ-型,如果不是则分割积分区域)

第六步:扫描求型限(对于简单θ-型,用x正半轴逆时钟扫描;对于简单ρ-型,从ρ=0开始,以极点为圆心,半径逐渐增大的同心圆扫描,确定型变量的范围:常值区间)

【注】θ的取值范围一般取为[0,2π],也可以取为[-π, π];ρ的取值范围则为[0,+∞].

第七步:画线定余限(在型变量的取值范围内,做射线穿过积分区域,或以极点为圆心的圆逆时钟穿过区域,入点为下限,出点为上限:上下限一般为型变量的函数或者直接为常值)

第八步:余变先积分,最后积型变。

【注】特别注意,被积函数除了直接函数转换成的表达式外,还要多乘以一个ρ,即有

6、三重积分的物理意义与几何意义

物理意义:当被积函数f(x,y,z)>0时,表示体密度为f(x,y,z)的,占有空间立体区域Ω的物体的质量。

几何意义:当被积函数f(x,y,z)=1时,表示占有空间立体区域Ω的空间立体的体积。

【注】三重积分的积分性质与二重积分相似。比如三重积分的中值定理为:设f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续,V为Ω的体积,则存在(ξ,η,ζ)∈Ω,使得

7、三重积分的计算性质

如果三重积分的被积函数整体,或者经过加减拆项后的某项关于某个变量,或者三个变量的奇偶性;积分区域整体,或者经过分割以后的某个部分具有关于坐标面或原点的对称性;积分区域具有关于直线x=y=z的轮换对称性,则三重积分可以借助如下“偶倍奇零”或者“轮换对称性”的计算性质来简化三重积分的计算。

(1) 三重积分的“偶倍奇零”的计算性质

如果三重积分的被积函数满足

即被积函数分别关于z变量、x变量、y变量、三个变量同时具有奇偶性;而如果相应的积分区域分别关于(a)xOy坐标面对称、(b)yOz坐标面对称、(c)zOx坐标面对称、(d)原点对称函数,并记其中一侧的区域为Ω1,则

●当被积函数为奇函数时,有

●当被积函数关于z变量为偶函数,有

(2) 三重积分的“轮换对称性”的计算性质

当积分区域关于直线x=y=z对称时,即描述积分区域的方程或不等式轮换x,y,z变量时,方程与不等式的描述形式不发生变化,如x2+y2 +z2≤R2的球域,则在这样区域上的三重积分满足轮换对称性,即有

同样,如果积分区域关于平面x=y对称,则对于x,y变量具有轮换对称性,即

类似有积分区域关于平面y=z,z=x对称的轮换对称性计算性质。

8、三重积分的直角坐标计算方法

(1) 先一后二的“投影法”的基本步骤

以简单XY-型区域(或称为关于z轴的简单区域)为例。

简单的XY-型区域是指:在积分区域xOy面上投影区域内任取一点,做与z轴同向的直线穿过区域,下交点都在由同一个二元函数z=z1(x,y)描述的曲面上,上交点都在由同一个二元函数z=z2(x,y)描述的曲面上的立体区域。(参见该文最后列出的参见文章列表了解详细分类与上下限确定方法)

基本步骤:

第一步:作出空间区域Ω的图形,将Ω投影到xOy平面上,得到投影区域Dxy,并对投影区域进行分类,写出明确的不等式描述形式:

第二步:确定关于变量z的积分限,并计算关于z的定积分.在投影区域Dxy上任取一点(x,y),过(x,y)作平行于z轴的直线,该直线顺着z轴的方向从曲面S1上点(x,y, z1(x,y))处进入Ω,在曲面S2上点(x,y, z2(x,y))处离开Ω,得

计算关于z的定积分

第三步:对计算得到的结果,以Dxy为积分区域计算二重积分,得三重积分的值.

以上步骤用公式表示为:

特别地,对于立方体积分区域:

Ω={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,m≤z≤n},

(2) 先二后一的“截面法”的基本步骤

以先对x,y变量求二重积分,再对z变量求定积分为例(这种方法直接参考课件中列出的习题的解题过程):

第一步:将Ω投影到z轴上,得z轴上的投影区间[a,b];

第二步:过[a,b]上任意点z作垂直于z轴的平面,该平面与Ω的截面在xOy平面上的投影区域为D(z).

第三步:在D(z)上借助二重积分的计算方法计算

其中z在这里为常数。

第四步:对计算得到的结果在[a,b]上求定积分,即

(3) 三重积分的直角坐标计算方法注意事项

【注1】对于直角坐标系下三重积分的计算,积分区域简单类型的确定非常关键,根据简单类型不等式的描述形式,就可以直接写出三重积分的累次积分表达式,从而通过定积分计算的方法计算得到三重积分的结果。

【注2】对于其中出现的先二后一与先一后二计算过程,对于考虑的二重积分我们可以根据积分区域选择二重积分的直角坐标计算方法,或者极坐标计算方法。

【注3】在具体的三重积分计算过程中,在考虑积分区域的分类之前,一般事先最好仔细考察三重积分的被积函数与积分区域的特点,如果发现积分区域整体,或者通过分割后的部分具有关于坐标面对称特征;并且被积函数整体,或者通过加减拆项后部分具有与区域对称性相匹配的变量的奇偶性时,则应该先考虑借助“偶倍奇零”的计算性质来简化计算过程;同样,如果积分区域关于x,y,z变量具有轮换对称性时,也可以考虑轮换对称性来化简积分计算。

9、三重积分的柱坐标计算方法与步骤

适用的三重积分类型:被积函数中有两个变量的平方项和或者两个变量的差,如x2+y2,y2+z2, z2+x2,x/y,y/z,z/x,y/x,z/y,x/z等结构;或者积分区域由母线平行于坐标轴的半平面、圆柱面,平行于坐标面的平面围成的时候,这样的三重积分可以考虑柱坐标计算方法,即三重积分开始计算的二重积分或者后面计算的二重积分适用于二重积分的计算方法时,则考虑柱坐标计算方法。

适用的计算思想:其实三重积分的柱坐标计算方法就是三重直角坐标系中“先二后一”或“先一后二”计算方法中,那个二重积分采用了极坐标方法来计算而已。如果在计算过程中将三重积分中的所有那两个变量全部用极坐标变量来描述,那就是柱坐标计算方法;否则称为直角坐标方法,可以说在求解过程中基本上没有产生新的方法。不过能够更好地适用于三重积分的计算区域为简单类型,其投影区域为极坐标系中的简单类型的三重积分。所以能够使用“先一后二”(投影法)计算的三重积分可以考虑使用柱坐标。

具体的计算步骤:

第一步:根据积分区域特征与被积函数表达式,选择确定用极坐标描述的两个变量(如x,y变量);

第二步:借助柱坐标与直角坐标的关系,将围成积分区域的边界曲面方程描述为柱坐标方程,并将被积函数表达式描述为柱坐标描述形式。

第三步:根据三重积分直角坐标系中“先一后二”的计算方法确定非极坐标变量的上下限,得到一个定积分描述形式,如

第四步:将结果作为投影区域上的被积函数,并用极坐标的方法计算二重积分,假设积分区域是简单的θ-型区域,则有

10、三重积分的球坐标计算方法与步骤

【注】球坐标系下空间区域的分类及定限方法,球坐标系及球坐标与直角坐标之间的关系参见本文最后列出的更多文章阅读列表。

(1) 三重积分球坐标计算方法与步骤

第一步:转换边界曲面方程描述。将围成积分区域的边界曲面方程用极坐标变量描述。

第二步:确定积分区域类型,选择积分计算次序。

第三步:确定积分变量上下限,参照球坐标系下空间区域的定限方法确定各球坐标变量的积分上下限。

第四步:计算累次积分得到最终结果。

(2) 使用球坐标计算三重积分注意事项

【注1】三重计算的球坐标计算方法一般适用于被积函数为三个平方项,或者能够转换为三个平方项描述的被积函数;积分区域则适用于由锥面、半平面和球面所围的积分区域;当然,如果三重积分适用其他计算方法不方便计算的时候,则也可能需要考虑球坐标的计算方法。

【注2】不管是使用直角坐标方法,还是柱坐标或者球坐标方法计算三重积分,在构造累次积分表达式之前,应该充分考虑积分区域整体或者部分关于坐标面或者关于原点的对称性,同时结合考虑被积函数整体或者通过加减运算拆项后的函数的奇偶性,如果匹配“偶倍奇零”计算性质要求,则首先考虑先借助“偶倍奇零”性质简化计算,另外也考察积分区域是否具有“轮换对称性”,如果有,则考虑使用轮换对称性简化计算;然后再考察或者尝试三种累次积分方法,选择最适合的方法构造累次积分表达式,然后完成三重积分的计算过程。

11、重积分应用建模的基本思想与步骤

(1) 基本思想:元素法(微元法)

(2) 建模步骤:分割取近似,求和取极限

所求量分布在有界闭域上的整体量,对区域具有可加性;

用重积分解决问题的方法:用微元分析法 (元素法)、从积分定义出发建立积分模型。

12、质量积分模型

(1) 平面薄片的质量:

(2) 空间立体的质量:

13、质心积分模型

(1)空间立体的质心计算模型

体密度为μ=μ(x,y,z),占有空间立体区域Ω的立体的质心计算模型为:

【注】当物体的密度为常数μ(x,y,z)= μ时,质心称为物体的形心,此时有

其中V为立体的体积。

(2) 平面薄片的质心

面密度为μ=μ(x,y),占有平面区域D的平面薄片的质心计算模型为:

特别地,当μ(x,y)= μ为常数,即平面薄片密度分布均匀时,得到

其中A为该薄片的面积.此时的质心只与薄片的几何形状有关,质心称为平面薄片的形心。

14、转动惯量积分模型

(1) 平面薄片转动惯量计算模型

面密度为μ=μ(x,y),占有平面区域D的平面薄片关于x轴、y轴、原点的转动惯量计算模型为:

(2) 空间立体转动惯量计算模型

体密度为μ=μ(x,y,z),占有空间立体区域Ω的立体关于x轴、y轴、z轴、原点心计算模型为:

15、物体对质点的引力积分模型

体密度为μ=μ(x,y,z),占有空间立体区域Ω的立体对位于(a,b,c),质量为m的质点的引力在三个坐标轴方向分量的大小分别为

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